Les bases de numération
Le premier mode de représentation des nombres fut sans doute les doigts de la main. L'homme ajouta peut-être ensuite les orteils pour compter jusqu'à 20. Pour aller au-delà, il dut alors recourir à des symboles, d'abord concrets puis écrits: des noeuds sur des ficelles, des cailloux, des encoches sur bois ou os, puis des gravures sur tablettes d'argile. L'homme fut alors confronté à un problème de taille: comment représenter des nombres toujours plus grands sans multiplier démesurément la quantité de symboles utilisés ?
La solution fut de privilégier
un certain nombre et d'organiser ensuite l'ensemble des nombres
suivant une hiérarchie basée sur ce nombre. C'est l'apparition
de la base, et donc des systèmes de numération et
du principe de position .
La solution paraît naturelle et dérive du système des encoches
pratiqué partout dans le monde: on pratique une encoche par
unité comptée. On peut ainsi accumuler les traits , ce qui
devient difficile à visualiser: l'oeil ne peut dénombrer
intuitivement que des groupes de cinq ou six objets. On se met
alors à distinguer certaines encoches: par exemple un V
pour la 5ème unité, puis un X pour la 10ème: c'est sans
doute ce système de comptabilité employé par les bergers qui
est à l'origine des chiffres romains. On obtient alors ceci pour
23: IIII V IIII X IIII V IIII X III
Il restait un pas à franchir pour parvenir à l'invention de la base: supprimer les encoches simples intermédiaires. C'est ce qu'on retrouve sur les quipus incas: Ce système de comptabilité était basé sur les noeuds de ficelles, mais avait incorporé la notion de base: on comptait avec des ficelles de couleurs différentes et on faisait sur chacune entre 0 et 9 noeuds. Chaque couleur correspondait à un certain ordre: par exemple, un noeud de ficelle rouge valait 1 unité, alors qu'il valait 10 unités sur une ficelle bleue. Les Incas avaient inventé le principe de position et la base décimale...
Certaines civilisations parvinrent ainsi à l'invention de la base, que ce soit sur des ficelles, sur des tablettes d'argile ou par d'autres moyens. Les Sumériens, les Incas, les Mongols, les Indiens... Certains n'y parvinrent pas, comme les Romains dont le système de numération, peu pratique, ne permettait pas de méthode de calcul simple...
Mais tous n'utilisèrent pas la
même base. Aujourd'hui, la base 10 est presque universellement
utilisée dans le monde. C'est la base qui semble la plus
intuitive, car elle se fonde apparemment sur le nombre de doigts
de la main. Ainsi, les Incas, les Mongols, les Tibétains, les
Turcs, les Indo-Européens, les Arabes, les Assyriens, les
Chinois, les Etrusques, les Grecs, les Hébreux, les Hittites,
les Perses, les Phéniciens, les Nubiens et bien d'autres peuples
d'Afrique et d'Asie ont choisi cette base 10. Les Romains
eux-aussi, même si on l'a vu leur système n'était pas vraiment
basé sur le principe de position.
Mais d'autres choisirent des bases différentes: la base 20,
chez les Aztèques, chez les Khmers, en Amérique du Sud, chez
les Peuls en Afrique, chez les Basques ou les peuples
Celtiques... ou encore la base 5, aux Nouvelles-Hébrides.
Il reste chez nous des traces de la base 20, comme la
dénomination de 80, quatre-vingt.
Une autre base marquante a été la base sexagésimale (60)
inventée par les Sumériens. Dérivant apparemment d'une
numération en base duodécimale (12), elle est encore
largement utilisée aujourd'hui dans la mesure du temps et des
angles: la division du cercle en 360°, puis en soixantièmes de
degrés, les minutes d'arc, et enfin en soixantièmes de minutes,
les secondes d'arc... De même nos 24 heures divisées en 60
minutes et 3600 secondes...
De fait c'est la base 10 qui
s'est imposée aujourd'hui, car sans doute la plus intuitive...
Mais si elle permet il est vraie une écriture compacte, elle
n'est pas pratique, car 10 ne possède que 2 diviseurs, alors que
60 par exemple en possède 10: 2,3,4,5,6,10,12,15,20 et 30, ce
qui s'avère pratique pour diviser les choses, c'est pourquoi
elle est utilisée pour les heures: on peut diviser une heure en
quarts, en tiers, en demis, en 60èmes..., de même que pour les
arcs de cercle . Depuis le XVIIème siècle, les tentatives
d'imposer une nouvelle base se sont multipliées: on a ainsi
soutenu les bases 4,8,12 à de nombreuses reprises sans aucun
succès: la base 10 était décidément trop ancrée dans les
moeurs. Mais elle constituait un obstacle majeur à la conception
d'outils de calcul, c'est pourquoi on a introduit avec succès le
calcul binaire et la base hexadécimale (16) dans
l'informatique.
La base 2 en effet, si elle n'est pas pratique dans la vie
courante car elle introduit des nombres trop longs ( 6 symboles
contre 2 en décimal pour écrire 33), ne possède que deux
chiffres et rend donc les calculs beaucoup plus simples...
Dans 15 jours: Le calcul sur boulier
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